Τα Παράξενα Μαθηματικά του Λάβκραφτ

Σχεδόν οχτώ δεκαετίες μετά το θάνατό του, ο Χ.Φ. Λάβκραφτ παραμένει μια από τις σημαντικότερες προσωπικότητες στη Φανταστική λογοτεχνία. Το σύμπαν που δημιούργησε, κυριαρχούμενο από το τρομερό πάνθεο των Μεγάλων Παλαιών, έχει εξελιχθεί σε ένα σχεδόν αρχετυπικό σύμβολο τρόμου και μυστηρίου. Επιτυχημένοι συγγραφείς, όπως ο Stephen King και ο Neil Gaiman, αναγνωρίζουν σε αυτόν την κύρια πηγή έμπνευσής τους. Δεκάδες ερευνητές έχουν ξοδέψει τόνους μελανιού μελετώντας διάφορες πτυχές της ζωής και του έργου του. Αμέτρητα βιβλία έχουν διεκδικήσει την ιδιότητα του αυθεντικού Νεκρονομικόν, ενώ τις τελευταίες δεκαετίες διάφοροι μάγοι χρησιμοποιούν λαβκραφτικά στοιχεία στο έργο τους, συνθέτοντας μια σειρά από ποικίλες και πολύχρωμες μαγικές πρακτικές που από πολλούς χαρακτηρίζονται συλλογικά ως Ρεύμα του Νεκρονομικόν.

Υπάρχει όμως ένα κομμάτι της Μυθολογίας Κθούλου που έχει περάσει σχεδόν απαρατήρητο από τους περισσότερους μελετητές της: τα μαθηματικά! Ίσως λόγω έλλειψης γνώσεων ή ενδιαφέροντος, ελάχιστοι έχουν δώσει σημασία σε αυτήν την πτυχή του έργου του. Στην πραγματικότητα όμως τα διηγήματα του Λάβκραφτ ξεχειλίζουν από παράξενες μαθηματικές ιδέες. Αλλόκοτες γωνίες, άγνωστες διαστάσεις και περίπλοκες εξισώσεις παρελαύνουν στα έργα του από την αρχή κιόλας της συγγραφικής καριέρας του και, σε συνδυασμό με υπόνοιες για παράξενες μαγικές πρακτικές και εξωγήινες τεχνολογίες, δημιουργούν μια εξωτική και υποβλητική ατμόσφαιρα τρόμου. Η Μυθολογία Κθούλου κρύβει έναν παράξενο κόσμο μέσα σε αυτές τις αναφορές, τον οποίο όμως λίγοι έχουν εξερευνήσει.

Σε αυτό το άρθρο λοιπόν θα κάνουμε ένα μικρό ταξίδι στα παράξενα μαθηματικά του Λάβκραφτ, μέσα από επιλεγμένα έργα του. Και ο πρώτος σταθμός μας δεν είναι άλλος από την εξωτική γεωμετρία των Μεγάλων Παλαιών, την περιβόητη «μη-Ευκλείδεια Γεωμετρία»!

Η μη-Ευκλείδεια Γεωμετρία της Ρ'λυέ

Ήταν το 1926 όταν ο Λάβκραφτ παρουσίασε για πρώτη φορά την αλλόκοτη αρχιτεκτονική της βυθισμένης Ρ’λυέ στο διήγημα Το Κάλεσμα του Κθούλου, μέσα από τις περιγραφές του καλλιτέχνη Γουίλκοξ και του ναύτη Γιόχανσεν: « Αναφέρομαι σε αυτές τις κουβέντες για γωνίες επειδή δείχνουν κάτι που μου είχε αναφέρει και ο Γουίλκοξ όταν μου μίλησε για τα όνειρά του. Είπε πως η γεωμετρία του μέρους που έβλεπε στα όνειρά του ήταν αφύσικη, μη-Ευκλείδεια, και γεμάτη απεχθείς σφαίρες και διαστάσεις πέρα από τις δικές μας». Αργότερα δε, καθώς οι ναύτες προσπαθούσαν να ξεφύγουν από την φρίκη του Κθούλου, ένας από τους συντρόφους του Γιόχανσεν «χάθηκε μέσα σε μια γωνία μιας κατασκευής που δεν θα έπρεπε να υπάρχει, μια γωνία που ενώ φαινόταν να είναι οξεία, συμπεριφερόταν σαν αμβλεία». Ξανά γίνονται αναφορές σε παράξενες γωνίες, με ακόμη πιο παράξενη συμπεριφορά. Τι είναι λοιπόν αυτή η εξωκοσμική γεωμετρία;

Η Αναδυόμενη R'lyeh. Έργο του John Coulthart.

Η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία είναι στην πραγματικότητα μια ολόκληρη κατηγορία γεωμετριών, κοινό στοιχείο των οποίων, όπως άλλωστε υποδηλώνεται και από το όνομά τους, είναι η άρνηση συγκεκριμένων θέσεων της γεωμετρίας του Ευκλείδη. Αποτελούν πλέον στυλοβάτες της σύγχρονης Φυσικής, από τη Σχετικότητα του Αϊνστάιν ως τις σύγχρονες κβαντικές θεωρίες χορδών και βρόχων, ενώ έχουν βρει και αρκετές πρακτικές εφαρμογές στην καθημερινότητα, όπως οι υπερευρυγώνιοι φακοί που χρησιμοποιούν πολλοί επαγγελματίες φωτογράφοι. Ιστορικά πάντα, η επίσημη παρουσίαση των πρώτων μη-Ευκλείδειων γεωμετριών γίνεται στις αρχές του 19ου αιώνα από τους Μπολυάι και Λομπατσέφσκι, και λίγο αργότερα από τον Ρήμαν. Πάνω στο συγκεκριμένο αίνιγμα όμως είχαν ήδη εργαστεί αμέτρητοι στοχαστές, από τον Ποσειδώνιο και τον Πρόκλο ως τον Σακέρι και τον Γκάους, ενώ οι πρώτες υπόνοιες χρονολογούνται από την εποχή του ίδιου του Ευκλείδη!

Στα Στοιχεία, το μνημειώδες έργο όπου καταγράφεται, οργανώνεται και συστηματοποιείται όλη η μαθηματική γνώση της εποχής του Ευκλείδη, παρουσιάζονται μια σειρά από ορισμούς, προτάσεις, θεωρήματα και αξιώματα από τα οποία προκύπτουν οι ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων και των ακέραιων αριθμών. Η συμβολή του στη θεμελίωση των θετικών επιστημών ήταν τέτοια, ώστε το σύνολο της κλασικής γεωμετρικής γνώσης να μείνει γνωστό σαν «Ευκλείδεια Γεωμετρία». Κι όμως, ο ίδιος ο μαθηματικός από την Αλεξάνδρεια παρέχει τις βάσεις για την αμφισβήτηση αυτής της γεωμετρίας! Πού; Μα, φυσικά, στο περιβόητο αίτημα των παραλλήλων...

Τα μαθηματικά των παράξενων γωνιών

Κεντρική θέση στις παρατηρήσεις των Στοιχείων κατέχουν πέντε βασικά Αιτήματα, μια σειρά από προτάσεις που, λόγω της διαισθητικής αλήθειας τους, θεωρούνται αυταπόδεικτες. Ανάμεσά τους όμως ξεχωρίζει το πέμπτο αίτημα, σύμφωνα με το οποίο «Αν μία ευθεία, που τέμνει δύο άλλες, σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά γωνίες με άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών, τότε οι δύο ευθείες, προεκτεινόμενες επ᾿ άπειρον θα τμηθούν και μάλιστα προς το μέρος όπου βρίσκοται οι γωνίες με το μικρότερο των δύο ορθών άθροισμα». Ή, όπως το επαναδιατυπώνει απλούστερα ο Πλεϋφαίρ, «από ένα σημείο εκτός μιας ευθείας μπορεί να διέρχεται μία και μόνο μια παράλληλη προς αυτή».

Το αίτημα των παραλλήλων είναι υπερβολικά περίπλοκο, όχι άμεσα αντιληπτό, και μοιάζει περισσότερο με θεώρημα που προκύπτει από τα προηγούμενα, παρά με αυταπόδεικτη αλήθεια. Ο ίδιος ο Ευκλείδης παρουσιάζεται διστακτικός στη διατύπωσή του, ξεχωρίζοντάς από τα υπόλοιπα αιτήματα και αφήνοντας υπόνοιες για τη φύση και την ισχύ του. Ανά τους αιώνες, λοιπόν, αμέτρητοι στοχαστές ασχολήθηκαν με την πιθανότητα απόδειξης του πέμπτου αιτήματος, χωρίς όμως επιτυχία, ώσπου τελικά η ανεξαρτησία του υπό προϋποθέσεις αποδείχθηκε από τον Μπελτράμι το 1868. Παρ’όλα αυτά, οι προσπάθειές τους οδήγησαν στη διατύπωση σημαντικών γεωμετρικών προτάσεων, ενώ αποτέλεσαν τη βάση για την ανακάλυψη των μη-Ευκλείδειων γεωμετριών, που στηρίζονται στην απόρριψη του αιτήματος των παραλλήλων. Πώς, όμως, προκύπτει μια νέα γεωμετρία από την άρνηση αυτού του αιτήματος;

Στην κλασική Ευκλείδεια γεωμετρία το βασικό μοντέλο αντίληψης είναι η επίπεδη επιφάνεια, όπου δυο ευθείες γραμμές που βρίσκονται σε σταθερή απόσταση μεταξύ τους μπορούν να παραμείνουν ευθείες επ’άπειρον, καταλήγοντας έτσι να είναι παράλληλες. Κατά συνέπεια, επιβεβαιώνεται η πρόταση του πέμπτου αιτήματος, εφόσον από ένα σημείο εκτός της πρώτης ευθείας θα μπορεί να διέρχεται μόνο μία ευθεία που να μην την τέμνει.

Τι θα συνέβαινε όμως αν η επίπεδη επιφάνεια καμπυλωνόταν; Η απάντηση είναι πως οι ευθείες που τη διαγράφουν, καθώς προσεγγίζουν το θεωρητικό σημείο τερματισμού της επιφάνειας, θα καμπυλωθούν επίσης. Αυτή η καμπύλωση μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, οδηγεί όμως οπωσδήποτε στην αναίρεση του αιτήματος των παραλλήλων: αν οι ευθείες απομακρύνονται η μία από την άλλη, συνεπάγεται πως από ένα σημείο εκτός ευθείας μπορούν να διέρχονται όχι μία αλλά άπειρες παράλληλες. Αν, αντίθετα, προσεγγίζουν η μία την άλλη, τότε όλες οι ευθείες τέμνονται μεταξύ τους και ουσιαστικά δεν υπάρχουν παράλληλες!

Κάπως έτσι προκύπτουν τα δύο πρώτα μη-Ευκλείδεια συστήματα, η υπερβολική και η ελλειπτική γεωμετρία, ενώ με τον έλεγχο και την άρνηση επιπλέον Ευκλείδειων θέσεων οδηγούμαστε σε ακόμα περισσότερα. Καθώς, δε, αλλάζει η συμπεριφορά των γραμμών από την Ευκλείδεια στη μη-Ευκλείδεια γεωμετρία, αλλάζουν αντίστοιχα και οι γεωμετρικές ιδιότητες των σχημάτων και των στερεών που προκύπτουν από αυτές (Εικόνα 1). Έτσι, στην ελλειπτική γεωμετρία μια γωνία που φαινομενικά είναι οξεία συμπεριφέρεται σαν αμβλεία, ακριβώς όπως η γωνία που καταβρόχθισε το ναυτικό στο Κάλεσμα του Κθούλου!

Εικόνα 1: Διαφορές ευκλείδειας και μη-Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Κβαντικά όνειρα στο Σπίτι της Μάγισσας

Ο Λάβκραφτ εμπλουτίζει ακόμη περισσότερο τα μεταγενέστερα έργα του με παράξενους μαθηματικούς όρους. Η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία εμφανίζεται επανειλημμένα σε διηγήματα όπως το Μέσα από τις Πύλες του Ασημένιου Κλειδιού και σε νουβέλες σαν τα Βουνά της Τρέλας. Η πιο εκτεταμένη χρήση τους, όμως, γίνεται σε ένα από τα πιο παράξενα έργα της Μυθολογίας Κθούλου, τα Όνειρα στο Σπίτι της Μάγισσας.

Ο πρωταγωνιστής της ιστορίας, Γουώλτερ Γκίλμαν, ταξιδεύει στο Πανεπιστήμιο Μισκατόνικ για να σπουδάσει «μη-ευκλείδεια μαθηματικά και κβαντική φυσική». Διαλέγει μάλιστα να μείνει στο σπίτι της διαβόητης μάγισσας Κέζια Μέησον, που έδρασε και συνελήφθη την περίοδο του κυνηγιού μαγισσών στο Σάλεμ, απ’όπου και εξαφανίστηκε μυστηριωδώς. Κατά τη δίκη της, η Μέησον είχε μιλήσει για «γραμμές και γωνίες, οι οποίες έδειχναν κατευθύνσεις που οδηγούσαν μέσα από τα τείχη του χώρου σε άλλους χώρους στο υπερπέραν...», κάτι που εντυπωσίασε έντονα τον φοιτητή, αφού μια μάγισσα του 17ου αιώνα φαινόταν να έχει γνώσεις μαθηματικών πολύ μπροστά από την εποχή της.

Όσο περισσότερο έμενε ο Γκίλμαν στο σπίτι της μάγισσας όμως, τόσο στοιχειωνόταν από περίεργα όνειρα, όπου βυθιζόταν σε απύθμενες αβύσσους και αλλόκοτα συμπλέγματα πεδίων, πρισμάτων και λαβυρίνθων. Τα όνειρά του τον κατέβαλαν σωματικά, αλλά βελτίωσαν την ικανότητά του στην επίλυση των εξισώσεων του Ρήμαν και στην κατανόηση των τεσσάρων διαστάσεων. Τελικά, κατορθώνει και ο ίδιος να ταξιδέψει στην τέταρτη διάσταση πέρα από τους γνωστούς άξονες του χώρου και του χρόνου χρησιμοποιώντας τις κατάλληλες γωνίες σαν κλειδί. Ξανά, λοιπόν, ο Λάβκραφτ χρησιμοποιεί τα μαθηματικά στη γλώσσα του λοιπόν, παρουσιάζοντας αυτή τη φορά ένα νέο μυστήριο: Η χρήση των γωνιών αποτελεί το κλειδί για το άνοιγμα πυλών και το ταξίδι σε άλλες, άγνωστες και πιθανώς τερατώδεις διαστάσεις, στις οποίες κατοικούν οι ίδιοι οι Μεγάλοι Παλαιοί, οι εξώκοσμοι θεοί της Μυθολογίας Κθούλου. Τι είναι όμως αυτές οι παράξενες διαστάσεις;

Τα Μαθηματικά της 4ης Διάστασης

Εικόνα 2: Ο υπερκύβος Tesseract

Όταν αναφέρεται η λέξη «διάσταση» στη λογοτεχνία του Φανταστικού, συνήθως ορίζεται σαν ένας «άλλος κόσμος», κάποιο παράλληλο σύμπαν ή πεδίο ύπαρξης διαφορετικό από το δικό μας. Ωστόσο, ο Λάβκραφτ χρησιμοποιεί τις διαστάσεις με την έννοια που έχουν στις θετικές επιστήμες: πρόκειται, δηλαδή, για έμφυτες γεωμετρικές ιδιότητες, καθοριζόμενες από ένα ελάχιστο σύνολο παραμέτρων ή βαθμών ελευθερίας. Μια γραμμή έχει μόνο μια διάσταση (μήκος), ένα επίπεδο δύο (μήκος, πλάτος) και ένα στερεό σώμα τρεις (μήκος, πλάτος, ύψος). Ο χώρος, λοιπόν, χαρακτηρίζεται από αυτές τις τρεις διαστάσεις, μαθηματικά συμβολιζόμενες από τρεις κατακόρυφους άξονες x, y και z, στο συνδυασμό των οποίων ζούμε και κινούμαστε.

Είναι όμως αυτές οι μοναδικές διαστάσεις του χώρου, ή μήπως θα μπορούσαν να υπάρχουν και άλλες; Από μαθηματικής άποψης η απάντηση είναι σαφώς καταφατική. Στους τρεις γνωστούς χωρικούς αξόνες θα μπορούσε να προστεθεί ένας τέταρτος, κάθετος προς αυτούς, και θα καταλήγαμε σε ένα σύστημα τεσσάρων διαστάσεων (x, y, z, w).

Η διαδικασία ουσιαστικά είναι η ίδια με το να απεικονίζεις ένα τρισδιάστατο σχήμα (πχ ένα κύβο) στη δισδιάστατη επιφάνεια του χαρτιού, και θεωρητικά θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί και για πέντε, έξι, δέκα ή και άπειρες διαστάσεις, άσχετα με το αν υφίστανται ή όχι. Από μαθηματικής άποψης, η ύπαρξή τους είναι δυνατή. 

Η ιδέα μιας τέταρτης διάστασης είχε μελετηθεί από τις αρχές του 19ου αιώνα, αλλά έγινε γνωστή χάρη στο έργο του Charles H. Hinton. Αρχικά με την εργασία του, What is the Fourth Dimension? (1880) καθώς και μέσα από μια σειρά αλληγορικών διηγημάτων ο Βρετανός μαθηματικός έθεσε τις βάσεις για την κατανόηση της Τέταρτης Διάστασης από το ευρύτερο κοινό, ενώ στη συνέχεια με τα βιβλία του A New Era of Thought (1888) και The Fourth Dimension (1904) περιέγραψε διάφορες τεχνικές οραματισμού αυτής της διάστασης, μέσα από ένα σύστημα που περιελάμβανε μια σειρά από τετραδιάστατους υπερκύβους δικής του επινόησης, τα Tesseracts (Εικόνα 2). Πώς θα φαινόταν όμως στα μάτια μας ο τετραδιάστατος χώρος; Πώς θα έμοιαζε ένα πλάσμα προερχόμενο από αυτόν; Για να το απαντήσουμε αυτό, αρκεί απλά να σκεφτούμε αναλογικά: Πώς θα φαινόμασταν εμείς, ως τρισδιάστατα όντα, σε κάποιον που ζει σε δύο διαστάσεις;

Η Επιπεδοχώρα

Το 1884 κυκλοφόρησε ένα ασυνήθιστο μυθιστόρημα με τον τίτλο Flatland, που έδινε την απάντηση σε αυτό ακριβώς το ερώτημα. O συγγραφέας του, Edwin Abbott, παρουσίαζε έναν παράξενο επίπεδο κόσμο, του οποίου οι δισδιάστατοι κάτοικοι αγνοούσαν την ύπαρξη της τρίτης διάστασης, ώσπου ένας τους συνάντησε ένα πλάσμα από αυτήν! Όταν λοιπόν η τρισδιάστατη σφαίρα παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στο δισδιάστατο τετράγωνο κάτοικο, ο τελευταίος την είδε ως ένα σημείο που σταδιακά μεγεθύνθηκε σε ένα κύκλο και στη συνέχεια σμικρύνθηκε ξανά.

Αντίστοιχα τώρα, ένα τετραδιάστατο σχήμα, σαν τον υπερκύβο Tesseract, θα φαινόταν στα μάτια μας σαν να περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό του, να μεγεθύνεται και να σμικρύνεται ταυτόχρονα, διαθέτοντας έτσι μια ρευστή δομή ξένη προς τη συνηθισμένη δομή των τρισδιάστατων μαζών (Εικόνα 2). Ακριβώς, δηλαδή, σαν τους Μεγάλους Παλαιούς που, σύμφωνα με τον Λάβκραφτ, «δεν αποτελούνται από σάρκα και αίμα. Έχουν σχήμα [...] αλλά αυτό δεν είναι φτιαγμένο από μάζα».

Προσέξτε όμως και το εξής: η σφαίρα, κινούμενη στην τρίτη διάσταση, στα μάτια του δισδιάστατου τετραγώνου στο Flatland φάνηκε να παρουσιάζει παράξενες δυνάμεις, όπως την ικανότητα να παραβιάσει ένα χρηματοκιβώτιο χωρίς να το ανοίξει. Αντίστοιχα, ένα ον με την ικανότητα της κίνησης στον τετραδιάστατο χώρο θα μπορούσε περάσει μέσα από τους τρισδιάστατους τοίχους ενός δωματίου και να ταξιδέψει σε κάποιον άλλο τόπο... ακριβώς όπως έκαναν ο Γκίλμαν και η μάγισσα Κέζια Μέησον!

Ένα σύμπαν πολλαπλών διαστάσεων

Κάπου εδώ όμως πρέπει να λύσουμε μια παρεξήγηση που συχνά δημιουργείται: η τέταρτη διάσταση που περιγράψαμε ως τώρα ΔΕΝ είναι ο χρόνος! Η αντίληψη πως ο χρόνος είναι η τέταρτη διάσταση, αν και γνώριμη από παλιά, απέκτησε επιστημονική υπόσταση όταν το 1908 ο δάσκαλος του Αϊνστάιν, Χέρμαν Μινκόφσκι, βασισμένος στη θεωρία της Ειδικής Σχετικότητας που είχε δημοσιεύσει ο μαθητής του το 1905, ανέπτυξε την οπτική του ενοποιημένου χωροχρονικού συνεχούς, όπου οι τρεις χωρικές διαστάσεις και ο χρόνος συνδυάζονται σε μια κοινή πολλαπλότητα (manifold).

Η δουλειά του Μινκόφσκι έδωσε στον Αϊνστάιν τα εφόδια για να διατυπώσει τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας (1916). Ωστόσο, η φύση και η γεωμετρία της χρονικής τέταρτης διάστασης διαφέρουν ριζικά από την τέταρτη διάσταση του χώρου που περιγράφουν οι μαθηματικοί. Σε αντίθεση με μια χωρική διάσταση, στο χρόνο δεν μπορούμε να κινηθούμε ελεύθερα, αλλά μόνο με συγκεκριμένους περιορισμούς. Κατά συνέπεια, πολλά από τα φαινόμενα του τετραδιάστατου χώρου, όπως το πέρασμα της μάγισσας του Λάβκραφτ μέσα από τοίχους, δεν είναι δυνατά αν θεωρηθεί ο χρόνος σαν τέταρτη διάσταση.

Μήπως αυτό σημαίνει πως η διάσταση που περιγράψαμε δεν υπάρχει; Όχι απαραίτητα! Για την ακρίβεια, οι σύγχρονες κβαντικές θεωρίες προϋποθέτουν την ύπαρξη επιπλέον διαστάσεων για να ερμηνεύσουν φαινόμενα που δεν μπορούν να εξηγηθούν από τη θεωρία της Σχετικότητας.

Η ενοποιημένη θεωρία χορδών μάλιστα προτείνει πως ο τετραδιάστατος χωροχρόνος αποτελείται στην πραγματικότητα από 11 διαστάσεις (10 χωρικές και μία χρονική)! Είναι πολύ πιθανό, λοιπόν, η χωρική τέταρτη διάσταση που περιγράψαμε να υπάρχει επίσης, και να περιλαμβάνεται σε αυτές τις επιπλέον διαστάσεις. Εξάλλου, ο ίδιος ο Λάβκραφτ αναφέρεται στην τέταρτη διάσταση μιλώντας όχι για το χρόνο, αλλά για μια διάσταση «πέρα από τους γνωστούς άξονες του χώρου και του χρόνου». Εκεί κατοικούν οι Μεγάλοι Παλαιοί, καθώς και μια από τις πιο περίεργες και αινιγματικές οντότητες της Μυθολογίας Κθούλου: ο μυστηριώδης Φύλακας της Πύλης, Γιογκ Σοθώθ. Και είναι αυτή η εξωτική φιγούρα που θα μας απασχολήσει στη συνέχεια, καθώς η μορφή της μας δίνει την ευκαιρία να δούμε ένα ακόμη παράξενο μαθηματικό αίνιγμα....

Οι παράξενες Σφαίρες του Γιογκ-Σοθώθ

Το 1932 ο Λάβκραφτ έγραψε το διήγημα Ο Τρόμος στο Μουσείο, για λογαριασμό του συνεργάτη του, Hazel Heald. Στην παράξενη αυτή ιστορία, που εκτυλίσσεται μέσα σε ένα αλλόκοτο μουσείο κέρινων ομοιωμάτων, παρουσιάζεται για άλλη μια φορά ο Γιογκ-Σοθώθ, με τη χαρακτηριστική μορφή μιας «μάζας από ιριδίζουσες σφαίρες, εκθαμβωτικός μέσα στην τεράστια μοχθηρία του». Γιατί όμως ο συγγραφέας διάλεξε τη μορφή της σφαίρας για να περιγράψει αυτό το πλάσμα της τέταρτης διάστασης; Τι είναι αυτό που κάνει τις σφαίρες ξεχωριστές;

Ο πολυδιαστατικός χώρος που εξετάσαμε ως τώρα ίσως φαίνεται πολύπλοκος και εξωτικός, στην πραγματικότητα όμως υπακούει στους βασικούς κανόνες του Ευκλείδη. Ωστόσο, αν θέλουμε να δούμε την τέταρτη διάσταση όπως ο Λάβκραφτ, πρέπει να τη μελετήσουμε σε όρους μη-Ευκλείδειας γεωμετρίας. Πώς μοιάζει όμως ο μη-Ευκλείδειος τετραδιάστατος χώρος; Για να το απαντήσουμε αυτό, θα περάσουμε από τη γεωμετρία σε έναν άλλο μαθηματικό κλάδο, την τοπολογία.

Όπως και η γεωμετρία, έτσι και η τοπολογία μελετά το σχήμα. Σε αντίθεση όμως με την κλασική γεωμετρία, η τοπολογία εφαρμόζει διαφορετικούς κανόνες σχετικά με την ομοιότητα των σχημάτων. Σε αυτήν, δυο σχήματα θεωρούνται ίδια αν είναι συνεχή, δηλαδή αν το ένα μπορεί να μετατραπεί στο άλλο χωρίς να διακοπεί. Για ένα γεωμέτρη λοιπόν ένα τετράγωνο, μπορεί να διαφέρει από ένα κύκλο, για έναν τοπολόγο όμως είναι ουσιαστικά το ίδιο σχήμα: είναι κύκλοι. 

Σκεφτείτε, τώρα, το εξής: τα στερεά, όπως ένας κύβος, μια σφαίρα και, φυσικά, τα σώματά μας, εχουν τρεις διαστάσεις. Στην τοπολογική ορολογία όμως χαρακτηρίζονται ως «πολλαπλότητες δύο διαστάσεων», ή 2-πολλαπλότητες (2-manifolds), καθώς μπορεί να είναι τρισδιάστατα, αλλά οι επιφάνειές τους έχουν μόνο δύο διαστάσεις. Από τοπολογικής άποψης, αυτές οι επιφάνειες διαφέρουν μόνο σε ένα χαρακτηριστικό, το αν έχουν τρύπες ή όχι. Έτσι λοιπόν η επιφάνεια ενός κύβου είναι όμοια με αυτή μιας σφαίρας, αφού η μία μπορεί να μετατραπεί στην άλλη. Αντίθετα, η επιφάνεια ενός κρίκου δεν είναι, καθώς δεν μπορεί να αλλάξει σε σφαιρική χωρίς να κοπεί (Εικόνα 3).

Εικόνα 3: Η διαφορά ανάμεσα σε μια σφαίρα και ένα κρίκο.

Η παραπάνω λογική μπορεί όμως να επεκταθεί και σε ανώτερες διαστάσεις. Όπως, λοιπόν, η επιφάνεια ενός τρισδιάστατου στερεού είναι δισδιάστατη, έτσι και ένα τρισδιάστατο αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί το όριο ενός τετραδιάστατου αναλόγου, ή μιας 3-πολλαπλότητας. Έτσι, μια σφαίρα ουσιαστικά είναι η τριών διαστάσεων οριακή μορφή μιας τετραδιάστατης υπερσφαίρας, ή 3-σφαίρας.

Με αυτό το σκεπτικό μάλιστα θα μπορούσαμε να πούμε πως το σύνολο του τρισδιάστατου συμπαντικού χώρου που ζούμε είναι στην πραγματικότητα το τρισδιάστατο προσωπείο μιας ανώτερων διαστάσεων πολλαπλότητας, την οποία δεν μπορούμε άμεσα να αντιληφθούμε ή, όπως προτείνει η ολογραφική αρχή της θεωρίας χορδών, η προβολή σε τρεις διαστάσεις μιας πληροφορίας που εντοπίζεται στην αλλοδιαστατική επιφάνεια του «κοσμολογικού οριζοντα» (αναλογιστείτε πόσο μοιάζει αυτή η ιδέα με την αλληγορία του Σπηλαίου από την Πολιτεία του Πλάτωνα).

Τα Μαθηματικά του Φύλακα της Πύλης

Πώς, όμως, συμπεριφέρονται αυτές οι πολλαπλότητες από τοπολογικής άποψης; Η απάντηση δόθηκε όταν το 1904 ο Γάλλος μαθηματικός, φυσικός και φιλόσοφος Ανρί Πουανκαρέ, μετά από περίπλοκους υπολογισμούς βασισμένους στη μη-Ευκλείδεια γεωμετρία του Ρήμαν, διατύπωσε την εικασία πως «κάθε απλά συνδεδεμένη, κλειστή 3-πολλαπλότητα είναι ομοιομορφική με 3-σφαίρα». Πρακτικά, αυτό σημαίνει πως κάθε τετραδιάστατο αντικείμενο χωρίς τρύπες ή αναδιπλώσεις μετατρέπεται σε μια υπερσφαίρα (Εικόνα 4). 

Εικόνα 4: Η τετραδιάστατη Υπερσφαίρα. Σύμφωνα με την εικασία του Πουανκαρέ, αυτό το μαθηματικό ανάλογο είναι το φυσιολογικό σχήμα κάθε κλειστής πολλαπλότητας.

Η γενικευμένη μορφή της εικασίας, δε, μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε από τις ανώτερες διαστάσεις. Η εικασία Πουανκαρέ, αν και παρέμεινε αναπόδεικτη για σχεδόν 100 χρόνια (αποδείχθηκε οριστικά μόλις το 2003 από τον Grigori Pelerman) βρήκε εφαρμογή στην καμπύλωση του χώρου και τη θεωρία της Σχετικότητας, στη μελέτη της υδροδυναμικής Navier-Stokes, την εκπομπή ακτινοβολιών και σε πολλά ακόμα συστήματα, ενώ έχει δώσει τα μέσα για την κατανόηση τόσο του σχήματος που πιθανώς έχει το Σύμπαν, όσο και της φύσης του τετραδιάστατου χώρου, στον οποίο φαίνονται να κυριαρχούν οι σφαιρικοί σχηματισμοί. 

Με βάση λοιπόν αυτούς τους κανόνες, ένα πιθανό «πλάσμα της τέταρτης διάστασης» θα έπρεπε να έχει ρευστή δομή, με την τάση να υιοθετεί το σχήμα της υπερσφαίρας ενώ στα δικά μας, συνηθισμένα στις τρεις διαστάσεις μάτια, θα έμοιαζε με ένα συνοθύλλεμα μπλεγμένων και αλληλένδετων σφαιρών: αυτό ακριβώς δηλαδή που, σύμφωνα με τις περιγραφές, είναι ο Γιογκ-Σοθώθ! Φαίνεται λοιπόν πως ο Λάβκραφτ έκανε τη σωστή επιλογή όταν αποφάσισε να παρουσιάσει τον Φύλακα της Πύλης με αυτόν τον τρόπο. Και αυτό γιατί κατόρθωσε, εν αγνοία του ίσως, να απεικονίσει παραστατικά αυτό που οι μαθηματικοί αδυνατούσαν να κάνουν χωρίς να καταφύγουν σε μαθηματικούς τύπους και πολύπλοκες εξισώσεις: την παραξενιά του τετραδιάστατου χώρου!

Σύμφωνα με την εικασία του Πουανκαρέ, αυτό το μαθηματικό ανάλογο είναι το φυσιολογικό σχήμα κάθε κλειστής πολλαπλότητας.

Ταξίδι στις Ανώτερες Διαστάσεις

Τα μυστήρια και παράξενα μαθηματικά της Μυθολογίας Κθούλου και του τετραδιάστατου χώρου φυσικά δεν σταματούν εδώ. Καθώς, όμως, ο όγκος τους άνετα θα γέμιζε ένα ολόκληρο βιβλίο, η περιήγησή μας στα παράξενα μαθηματικά του Λάβκραφτ θα πρέπει να σταματήσει εδώ. Όποιος, όμως, ενδιαφέρεται, μπορεί να εξερευνήσει περισσότερο το θέμα και να «ταξιδέψει» στους παράξενους κόσμους των τεσσάρων διαστάσεων, μελετώντας τόσο το λαβκραφτικό έργο όσο και την κατάλληλη μαθηματική βιβλιογραφία.

Απαραίτητα στο εγχείρημα είναι φυσικά τα Στοιχεία του Ευκλείδη που, σχεδόν 24 αιώνες μετά τη συγγραφή τους, εξακολουθούν να είναι ένας από τους στυλοβάτες των Μαθηματικών. Τα έργα The Fourth Dimension του Charles Hinton και The Fourth Dimension: a Guided Tour of the Higher Universes του Rudy Rucker προσφέρουν μια εξαιρετική εισαγωγή τόσο στις έννοιες του τετραδιάστατου χώρου όσο και στον τρόπο οραματισμού του, ενώ το κλασικό πλέον Non-Euclidean Geometry του καθηγητή H.S.M. Coxeter αποτελεί την καλύτερη ίσως επιλογή για τη μελέτη της μη-Ευκλείδειας γεωμετρίας. Το Flatland του Edwin Abbott, ακόμη κι αν δεν περιέχει αναφορές στον τετραδιάστατο χώρο, αποτελεί ένα έξοχο παράδειγμα της φιλοσοφίας των ανώτερων διαστάσεων και είναι απαραίτητο ανάγνωσμα για κάθε ενδιαφερόμενο. Τέλος, το αίνιγμα της εικασίας του Πουανκαρέ εξερευνάται έξοχα από το The Poincaré Conjecture του Donal O’Shea.

Λάβκραφτ και Μαθηματικά

Παραμένει όμως το εξής ερώτημα: Γιατί ο Λάβκραφτ επέλεξε να χρησιμοποιήσει περίπλοκες μαθηματικές έννοιες στη λογοτεχνία του; Τι ήταν αυτό που εξίταρε το ενδιαφέρον του; Σίγουρα η μεγάλη αγάπη του για την επιστήμη ήταν καθοριστικός παράγοντας. Από μικρή ηλικία έδειξε υπέρμετρο ενδιαφέρον για οτιδήποτε επιστημονικό, εκτελώντας αυτοσχέδια πειράματα και εκδίδοντας ερασιτεχνικά επιστημονικά περιοδικά. Από τις επιστολές του στις αρχές της δεκαετίας του 1920 μάλιστα, γνωρίζουμε πως ήταν καλά ενημερωμένος πάνω στο θέμα της πρωτοεμφανιζόμενης τότε θεωρίας της Σχετικότητας, που στηριζόταν τόσο στη μη-Ευκλείδεια γεωμετρία όσο και στην τετραδιάστατη τοπολογία, και πως ανησυχούσε για τις πιθανές επιπλοκές που θα μπορούσε να έχει αυτή η νέα θεωρία.

Για τον Λάβκραφτ αυτή η μεταμόρφωση της επιστήμης σηματοδοτούσε το άνοιγμα μιας νέας οδού προς κάτι άγνωστο, με τρομακτικές προοπτικές. Είναι γνωστό άλλωστε πως τα όνειρά του, πάνω στα οποία βασίστηκε σημαντικό κομμάτι του έργου του, στοιχειώνονταν συχνά από εικόνες της παράξενης γεωμετρίας και των αλλόκοτων διαστάσεων με τις οποίες είχε γίνει γνώριμος, αλλά δεν μπορούσε εύκολα να δεχτεί ή να κατανοήσει. Ίσως λοιπόν αυτός ο φόβος που ένιωθε γι αυτά τα παράξενα μαθηματικά να ήταν και ο λόγος που τα χρησιμοποίησε: για να μεταφέρει, μέσα από μια υποβλητική ατμόσφαιρα, αυτό που ένιωθε ο ίδιος στους αναγνώστες του, τον τρόμο που μόνο το άγνωστο και το ακατανόητο μπορεί να εμπνεύσει. Εξάλλου, το είχε δηλώσει και ο ίδιος ξεκάθαρα: «το παλαιότερο και δυνατότερο συναίσθημα της ανθρωπότητας είναι ο φόβος, και το παλαιότερο και δυνατότερο είδος φόβου είναι ο φόβος για το άγνωστο...»

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:

Abbott, E.A., Flatland: A Romance of Many Dimensions. Dover Publications Inc., 2007

Coxeter, H.S.M., Non-Euclidean Geometry (6th Edition). The Mathematical Association of America Press, 1998

Ευκλείδης, Ευκλείδη “Στοιχεία”. Κέντρο Έρευνας, Επιστήμης και Εκπαίδευσης (Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ), Αθήνα, 2001

Einstein, A., Minkowski, H., The Principle of Relativity: Original Papers of A. Einstein and H. Minkowski. University of Calcutta Press, 1920

Elwes, R., Exotic Spheres, or why 4-Dimensional Space is such a Crazy Place. +Plus Magazine, 2011

Harms, D., The Cthulhu Mythos Encyclopedia (3rd Edition). Elder Signs Press, 2008

Hinton, C.H., The Fourth Dimension. Celephais Press, 2004

Hinton, C.H., A New Era of Thought. Celephais Press, 2009

Hull, T., H.P. Lovecraft: a Horror in Higher Dimensions, Math Horizons, Vol. 13 No. 3 (Feb. 2006), pp. 10-12

Καρτσακλής, Α., Γενικά Μαθηματικά. Επιστημονικές Εκδόσεις Αράκυνθος, 2001

Lovecraft, H.P., Selected Letters Vol. I-IV. Arkham House Publishing, 1968 - 1976

Lovecraft, H.P., Supernatural Horror in Literature. Courier Dover Publications, 1975

Lovecraft, H.P., The Call of Cthulhu and Other Weird Stories. Penguin Classics, 2002

Lovecraft, H.P., The Dreams in the Witch-House and Other Weird Stories, Penguin Classics, 2005

Lovecraft, H.P., The Thing on the Doorstep and Other Weird Stories. Penguin Classics, 2005

Luminet, J.P., A Cosmic Hall of Mirrors. Physics World, Sep. 2005 

Mackenzie, D., The Poincaré Conjecture – Proved. Science, Vol. 314 No. 5807 (Dec. 2006), pp. 1848-1849

O’Shea, D., The Poincaré Conjecture: In Search of the Shape of the Universe. Walker & Company, 2007

Rucker, R., Geometry, Relativity and the Fourth Dimension. Dover Publications Inc., 1977

Rucker, R., The Fourth Dimension: A Guided Tour of the Higher Universes. Mariner Books, 1985

Πηγή: Τα Παράξενα Μαθηματικά του Λάβκραφτ - RAMNOUSIA